Александр Яковлевич Розенбаум родился 13 сентября 1951 года в Ленинграде семье студентов-однокурсников 1-го Медицинского института, Якова Шмарьевича Розенбаума и Софьи Семеновны Миляевой. По распределению семья Розенбаумов отправилась жить в Восточный Казахстан, в город Зыряновск. В течение шести лет отец и мать Саши занимались врачеванием жителей Зыряновска. Отец врач-уролог, был главным врачом городской больницы. Мать — акушер-гинеколог. В этот период в семье родился ещё один сын — Владимир Розенбаум.

Музыкой стал заниматься с пятилетнего возраста. Закончил школу на улице Восстания — школа № 209, бывший Павловский институт благородных девиц, раньше здесь учились его родители потом и дочь. Окончил музыкальную школу № 18 по классу фортепиано и скрипке сначала под руководством Ларисы Яновны Иоффе, а затем — талантливого учителя Марии Александровны Глушенко. Соседом его бабушки был известный гитарист Михаил Александрович Минин, у которого научился азам, игре на гитаре обучался сам, участвовал в самодеятельности, затем окончил вечернее музыкальное училище по классу аранжировки. Играл для друзей, играл дома, играл во дворе. По словам Александра Яковлевича, он «на сцене с пяти лет». Ходил на фигурное катание, в 12 лет перешёл на секцию бокса «Трудовые резервы».

В 1968—1974 годах учился в Первом медицинском институте в Ленинграде. До сих пор ежегодно даёт там концерты. По случайности его исключили из института, но в армию не взяли по причине плохого зрения. Александр Розенбаум пошёл работать в больницу. Через год Розенбаум восстановился в институте и закончил своё образование. В 1974 году, сдав на отлично все государственные экзамены, Александр получил диплом врача-терапевта общего профиля. Его специализация — анестезиология и реаниматология. Пошёл работать в скорую помощь, на Первую подстанцию, расположенную на улице Профессора Попова, д. 16Б, неподалёку от родного института.

Занимался в вечернем джазовом училище при Дворце культуры им. С. М. Кирова. Песни начал писать с 1968 года в институте для капустников, студенческих спектаклей, вокально-инструментальных ансамблей и рок-групп. В 1980 году ушёл на профессиональную эстраду. Играл в различных группах.

Семейная жизнь Розенбаума началась рано, но продлился первый брак недолго. Уже через год Розенбаум снова женился, на этот раз на своей однокурснице, и у них родилась дочь Анна. У Александра Розенбаума был выбор между профессией врача, по которой он уже отработал 5 лет и нашёл в ней себя, и эстрадной карьерой. Был сделан выбор в пользу музыки.

Выступал в составе групп и ансамблей: «Адмиралтейство», «Аргонавты» , ВИА «Шестеро молодых», «Пульс» (под псевдонимом Аяров, от «А. Я. Розенбаум»).

Началом сольной деятельности можно считать выступление 14 октября 1983 года в Доме культуры МВД им. Ф. Э. Дзержинского. В дальнейшем он стал художественным руководителем театра-студии «Творческая мастерская Александра Розенбаума».

Совладелец сети пивных «Толстый Фраер».

В 2003 году избран депутатом Государственной думы России от партии «Единая Россия».

Вице-президент и художественный руководитель концертного отдела общества «Великий город».

Председатель совета Фонда развития исторического наследия «Кронштадт». «Восстановление Морского собора г. Кронштадта и возвращение его людям для служения той идее, для которой он был создан — быть главным морским храмом страны, — по мнению Председателя совета фонда Александра Розенбаума является „святой задачей“».

Живёт и работает в Санкт-Петербурге.

Подписал в числе 42 известных петербуржцев открытое письмо президенту Дмитрию Медведеву в поддержку строительства «Охта-центра».

В 2011 году участник ежегодной Национальной Премии Шансон Года в Кремле 26 марта 2011.